四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,PA垂直底面ABCD,,AC=二倍根号二,PA=2,E是PC上一点PE=2EC。
1、证明:PC垂直平面BED
2、求PD与平面PBC所成角的大小
1 取坐标系,A﹙0,0,0,﹚ B﹙200﹚D﹙020﹚ P﹙002﹚凳誉 则E﹙4/3,4/迹粗缓3,2/3﹚
PC=﹛2,2,-2﹜ BD=﹛-2,2,0﹜ BE=﹛-2/3,4/3,2/3﹜
平面BED的法方向n=BD×BE=﹛4/3,4/3,-4/3﹜
显然PC∥n ∴PC⊥平面BED.
2 PD=﹛0,2.-2﹜平面PBC法方向n1=姿模﹛1,0,1﹜
PD与平面PBC所成角为α sinα=|﹙-2﹚/﹙2√2×√2﹚|=1/2 α=30º
1、连结AC、BD,交于O,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AC⊥BD,(正方形对角线互相垂直平分),
∵PA⊥平面ABCD,BD∈平面ABCD,
∴BD⊥平面PAC,
∵PC∈平面PAC,
∴BD⊥AC,
在平面PBC上作BE‘⊥PC,
∵AB是简前坦PB在平面ABCD上的射影,
BC⊥AB,
∴根据三垂线定理,
BC⊥PB,
∴△BPC是RT△,
∴RT△BE’C∽RT△PBC,
BC/PC=CE’/BC,
CE'=BC^2/PC,
PA=2,AC=2√2,
∴根据勾股定理,PC=2√3,
BC=(√2/2)*AC=2,
∴CE‘=2^2/(2√3)=2√3/3=PC/3,
∴E‘和E重合,
∴BE⊥PC,
∵BD∩BE=B,
∴PC⊥平面BED。
2、用等体积法可求出D至平面PBC的距离悔嫌,
∵PA⊥平面ABCD,
∴三棱锥P-BDC的高是PA,
BC=CD=AC*√2/2=2√2*√2/2=2,
S△BDC=BC*CD/2=2*2/2=2,
由前所述△PBC是RT△,
PB^2=PA^2+AB^2,
∴PB=2√2,
S△PBC=PB*BC/2=2√2*2/2=2√2,
设D至平面PBC距离为d,
VD-PBC=d*S△PBC/3=d*2√2/3,
VP-BDC=PA*S△BDC/3=2*2/3=4/3,
d*2√2/3=4/3,
∴d=√2,
根据勾股定理,
PD=√2PA=2√2,
设PD和平面PBC所成角为θ,
则sinθ=d/PD=√2/(2√2)=1/拦桐2,
∴θ=30°,
∴PD和平面PBC所成角为30度。
取坐标系,A﹙0,0,0,﹚ B﹙200﹚D﹙020﹚ P﹙002﹚ 则E﹙4/3,4/3,2/3﹚
PC=﹛2,2,-2﹜ BD=﹛-2,2,0﹜ BE=﹛-2/3,4/3,2/返扮核3﹜
平面BED的法方向n=BD×BE=﹛4/3,4/3,-4/3﹜
显然PC∥n ∴PC⊥平漏掘面BED.
2 PD=﹛0,2.-2﹜平面PBC法方缺数向n1=﹛1,0,1﹜
PD与平面PBC所成角为α sinα=|﹙-2﹚/﹙2√2×√2﹚|=1/2 α=30º
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