微积分就是以一种特殊的方法进行快速运算，这里有个前辈总结的很好，是这样说的。 微积分....我们可以从字面上稍微推测一下它的意思。其实这个词我们要拆成两个词语来看..
一个是微分一个是积分...而微分和积分怎么理解呢？
我举个例子说吧..给你一个三角形，告诉你一条边的长，和在这条边上的高，我相信你立马就可以算出来这个三角形的面积..公式写的明明白白..这归功于
数学家的功劳，数学家基本解决了很多规则图形的面积如何算。。但是你要知道，现实
生活中不是所有的东西都是具有规则形状的。。举个例子来说，我撒一滩水到桌子上，一般情况下，这个水摊开在桌面上的形状是不规则的。。（如果在外太空因为表面张力会变成球，这个好算，不说）。。那么我想让你算一下这摊水的面积。能给我个公式出来不？我想你肯定会很苦恼。。或者你会想到用近似的方法，找个差不多的圆形什么的，边边角角就不要了。这是个很好的思想，我认为这个思想也算是微积分产生的起源吧。这个时候微积分就起作用了。怎么算这摊水的面积呢。
现在我们再继续深入探讨。假如这摊水被洒在一张刻有方格子的纸上，这个时候一种近似的算法就是看这摊水占据了多少方格子，当然在边界的地方总是有一些方格子被不规则地占满了一部分。我们可以近似认为占了超过一半就认为这个全占满了，然后数一数一共占了多少个格子，方格子的面积知道，就是边长的平方。这又是一种近似方法，比上面我说的最开始的方法更精确。
然而，我们可以继续深究下去，如果把这个方格子纸上的格子缩的更小点，意思就是说，这张纸现在由密密麻麻的小格子构成，这样还是按照刚才的算法，不难看出，这种算法误差更小。。我想看到这你都能理解我的意思。
然后，我要涉及到一个极限的概念了。就是说，假如这张纸上有无穷多个小格子，格子排列无穷紧密，然后重复上述计算过程，我们就认为这个方法得出的答案就是水的真正面积。。
微分就对应于我们把水分成无数个小格子的过程。就是说把水分成许多无限微小的部分。然后积分对应于我们把这些无限微小的部分积累起来。就是求和。然后呢，就得到了面积。这就是微积分最开始的用途。对付不规则面积的计算。微积分就是三步。微分，取极限，积分 。 至于你说的双曲线，现设出表达式Y的平方=4X,化简下为Y=2根号x，我们假设他是某个函数的 导数，我们来求他的原函数即为Y=4/3乘以x的3/2方，再根据定义域比如是【0，1】，用1代入得4/3，用0代入得0，相减的绝对值即为定义域内面积大小为4/3
X轴曲线最右边的积分减去最左边的积分就是曲线围成的面积.