幂函数导数公式的证明x^n-a^n=x^n-ax^(n-1)+ax^(n-1)-

x^n-a^n

=x^n-ax^(n-1)+ax^(n-1)-a²x^(n-2)+a²x^(n-2)-a³x^(n-3)+...-a^(n-1)x+a^(n-1)x-a^n

=(x-a)x^(n-1)+(x-a)ax^(n-2)+...+(x-a)a^(n-1)

再除以(x-a)，即可。

拓展资料:

求导法则

由基本函数的和、差、积、商或相互复合构成的函数的导函数则可以通过函数的求导法则来推导。基本的求导法则如下：

1、求导的线性：对函数的线性组合求导，等于先对其中每个部分求导后再取线性组合（即①式）。

2、两个函数的乘积的导函数：一导乘二+一乘二导（即②式）。

3、两个函数的商的导函数也是一个分式：（子导乘母-子乘母导）除以母平方（即③式）。

4、如果有复合函数，则用链式法则求导。

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f(x)=xⁿ

f'(x)=lim(Δx→0)[f(x+Δx)-f(x)]/Δx

=lim(Δx→0)[(x+Δx)ⁿ-xⁿ]/Δx

=lim(Δx→0)[(x+Δx-x)·[(x+Δx)^(n-1)+(x+Δx)^(n-2)·x+...(x+Δx)x^(n-2)+x^(n-1)]/Δx

=x^(n-1)+(x)^(n-2)·x+...+x·x^(n-2)+x^(n-1)

=nx^(n-1)

拓展资料

幂函数是基本初等函数之一。

一般地.形如y=xα(α为有理数）的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数。例如函数y=x0、y=x1、y=x2、y=x-1（注：y=x-1=1/x y=x0时x≠0）等都是幂函数。

幂函数的图象一定在第一象限内，一定不在第四象限，至于是否在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．

1.正值性质

当α>0时，幂函数y=xα有下列性质：

a、图像都经过点（1,1）(0,0）；

b、函数的图像在区间[0,+∞)上是增函数；

c、在第一象限内，α>1时，导数值逐渐增大；α=1时，导数为常数；0<α<1时，导数值逐渐减小，趋近于0；

2.负值性质

当α<0时，幂函数y=xα有下列性质：

a、图像都通过点（1,1）；

b、图像在区间（0，+∞）上是减函数；（内容补充：若为X-2，易得到其为偶函数。利用对称性，对称轴是y轴，可得其图像在区间（-∞，0）上单调递增。其余偶函数亦是如此）

c、在第一象限内，有两条渐近线（即坐标轴），自变量趋近0，函数值趋近+∞，自变量趋近+∞，函数值趋近0。

3.零值性质

当α=0时，幂函数y=xa有下列性质：

a、y=x0的图像是直线y=1去掉一点（0,1）。它的图像不是直线。

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解答：
1、y=f(x)表示的是y是x函数；
2、y对x求导，我们习惯写成y‘，国际上绝大多数国家习惯写成dy/dx；
3、国际上也有少数国家习惯简写的导数表达式y’，而我们是执着于y‘，执迷于y‘；
4、执着的结果，我们很多学生，不知道y’的真正含义是dy/dx，是无穷小之商；
5、由于很多教师并不讲究教学心理学、对教学法不屑一顾，很多学生就失去了本能的悟性；
6、lny首先是y的函数，y又是x的函数，所以，lny也是x的函数；
7、lny是一目了然的，是显而易见的，是直截了当的，所以称它为显函数，explicitfunction；
8、设u=lny，u是y的显函数，它也是x的函数，由于是隐含的，称为隐函数，implicit；
9、u对y求导是1/y，这是对y求导，不是对x求导；
10、u是x的隐函数，u对x求导，用链式求导，chainrule；
11、u对x的求导，是先对y求导，然后乘上y对x的求导，也就是：
du/dy=1/y
du/dx=(du/dy)×(dy/dx)=(1/y)×y'=(1/y)y'。
欢迎追问。

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(x^a)'=ax^(a-1)
证明：y=x^a
两边取对数lny=alnx
两边对x求导(1/y)*y'=a/x
所以y'=ay/x=ax^a/x=ax^(a-1)
证毕！

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