已知椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的离心率为√2/2,点F为椭圆的右焦点,点A、B分别为椭圆的左右顶点,
点M为椭圆的上顶点,且满足向量MF乘以向量FB=√2-1,(1)求椭圆C的方程
(2)是否存在直线L 当直线L交椭圆与PQ两点时 使点F恰为△PQM的垂心? 若存在,求出直线方程
(1)
e=c/a=根号2/2
a^2=2c^2
m(0,b) f(c,0) b(a,0)
mf=(c,-b)
fb=(a-c,0)
mf.fb=ca-c^2=√2-1
c=1
a^2=2
c^2=a^2-b^2=1
b^2=1
故椭圆的方程为 x^2/2+y^2=1
(2)
假设存在直线l交椭圆于芹搭P,Q两点,且F恰为△PQM的垂心,
则设P(x1,y1),Q(x2,y2),
∵M(0,1),F(1,0),故kPQ=1,
于是设直线l为y=x+m,由
y=x+m
x^2+2y^2=2
得3x^2+4mx+2m2-2=0.
∴MP→•FQ→=0=x1(x2-1)+y2(y1-1),
由yi=告升xi+m(i=1,2)得x1(x2-1)+(x2+m)(x1+m-1)=0,即2x1x2+(x1+x2)(m-1)+m2
-m=0,
由一元二次方程根与系数的关系得
2•2m2-23-4m3(m-1)+m2-m=0.
解得m=袜首老-43或m=1,经检验只有m=-43符合条件,则直线l的方程为y=x-43.
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