已知函数fx=1/3x^3+1/2ax^2+bx的两个极值点x1,x2

若x1∈(-∞，-1]，x2∈[2,+∞),则a+b的最大值是

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答：

f(x)=x³/3+ax²/2+bx

求导：

f'(x)=x²+ax+b

极值点x1∈(-∞，-1]，x2∈[2,+∞)

则x1和x2是方程x²+ax+b=0的两个解

根据韦达定理有：
x1+x2=-a

x1*x2=b

抛物线g(x)=x²+ax+b开口向上芦雀，对称轴x=-a/2

显然：-1<x=-a/2<2

所以：-4<a<2

f(0)=b<0

f(-1)=1-a+b>=0

f(2)=4+2a+b>=0

根据上述4个不等式，以a为x轴、b为y轴建立直角坐标系绘制如下图

满足条件的区间是三角形ABC内及AC、AB两线段，不包括BC线段梁哗蠢（除端点B和C）

但A（-1，-2）橡陪，B（1,0），C（-2,0）

a+b=k即直线b=-a+k

最大值在直线经过点B时取得K=1+0=1

所以：a+b的最大值为1

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解析：∵函数f(x)=1/3x^3+1/嫌枝2ax^2+bx的两个极值点x1,x2
令f'(x)=x^2+ax+b
∵f(x)极值点x1∈(-∞，-1]，x2∈[2,+∞)
则x1和x2是方程x^2+ax+b=0的两个解
⊿=a^2-4b>0
X1=(-a-√(a^2-4b))/2，X2=(-a+√销腊(a^2-4b))/2
(-a-√(a^2-4b))/2<亏者滑=-1==>√(a^2-4b)>=2-a==>a-b>=1 (1)
(-a+√(a^2-4b))/2>=2==>√(a^2-4b)>=4+a==>2a+b<=-4 (2)
(1),(2)联立解得a<=-1，b<=-2
∴a+b的最大值为-3

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