令f(x)=1+xln[x+√(1+x^2)]-√(1+x^2)
f'(x)=ln[x+√(1+x^2)]+x*[1+x/√(1+x^2)]/[x+√(1+x^2)]
-x/√(1+x^2)]=ln[x+√(1+x^2)]+x/√(1+x^2)]-x/√(1+x^2)]
=ln[x+√(1+x^2)]>0
(当x>0时)
所以f(x)在[0,+∞)单调增加，当x>0时，有
f(x)>f(0)=0，袭档橡即1+xln[x+√(1+x^2)]>√(1+x^2)
求极限基本方法有：
1、分式中，分子分母同除以最高次，化无穷大为无穷小计算，无拍旁穷小直接以0代入。
2、无穷大根式减去无穷大根式时，分子有理化。
3、运用洛必达法则，但是洛必达法则的运用条件是化成无穷大比无穷大，或无穷小比无穷小，分子分母还必须是连续可导函数蠢胡。
定义f(x)=1+xln(x+√1+x^2)-√1+x^2
则f'(x)=1+arshx
注意ln(x+√1+x^2)=arshx以及(arshx)'=1/√1+x^2
考虑到(arshx)'=1/√1+x^2>0是在R上的增函数且arsh(0)=0,所以x在帆山乱R+上时恒有f'(x)=1+arshx>0
故唯兄f(x)=1+xln(x+√1+x^2)-√1+x^2在R+上是态档增函数
f(x)>f(0)=0
即在R+上恒有1+xln(x+根号(1+x^2))>根号(1+x^2)
证明：要证
x∈R,1+xln[x+（1+x^2)^1/2]≥(1+x^2)^1/2成立
设
x=sht
,t∈R
(双曲函数shx)
则ln[x+（1+x^2)^1/2]=t
,
(1+x^2)^1/2=cht
只需证
t∈R
1+t(sht)≥cht
即
t(sht)-cht+1
≥0成立
构造函数
f(t)=t(sht)-cht+1
t∈R
f'(t)=(sht)+t(cht)-sht=t(cht)
得f(t)在(-∞,0)上单减，在(0,+∞)上单毕纤贺增
且f'(0)=0
有f(t)=t(sht)-cht+1≥f(0)=0
得到
t∈R
t(sht)-cht+1
≥0
真
所以
x∈R,1+xln[x+（1+x^2)^1/2]≥(1+x^2)^1/2成立。
上面证明中用到了双曲函数：
shx=(e^x-e^(-x))/2
chx=(e^x+e^(-x))/2
它们有下列特性：
(chx)^2-(shx)^2=1
shx是奇函数且在手派R是单增
chx是偶函数且竖仔chx≥1
(shx)'=chx
(chx)'=shx
希望对你有点帮助！
令f(x)=1+xln(x+√1+x^2)-√1+x^2
则f'(x)=1+arshx
ln(x+√1+x^2)=arshx，(arshx)'=1/√1+x^2
(arshx)'=1/√1+x^2>0是在R上的增函数且arsh(0)=0,所亮厅以x在R+上时恒有敬尘隐f'(x)=1+arshx>0
故f(x)=1+xln(x+√1+x^2)-√1+x^2在R+上是增函数
x=0时f（x）=0临界状态，（你那个范围应该是x＞0的吧）
因为f（x）增函数兄含，所以在R+上f（x）恒大于0
1+xln(x+√1+x^2)-√1+x^2＞0
所以
1+xln(x+√1+x^2）＞√1+x^2
我刚读完高一啊，乱七八糟弄了一通真是够呛。
令键高f(x)=1+xln[x+√(1+x^2)]-√(1+x^2)
f'(x)=ln[x+√(1+x^2)]+x*[1+x/√唤银(1+x^2)]/[x+√(1+x^2)]
-x/√(1+x^2)]=ln[x+√(1+x^2)]+x/√(1+x^2)]-x/√(1+x^2)]
=ln[x+√(1+x^2)]>0
(当x>0时)
所以和亮宴f(x)在[0,+∞)单调增加，当x>0时，有
f(x)>f(0)=0，即1+xln[x+√(1+x^2)]>√(1+x^2)
