有一个边长都相等的凸五边形，每个内角都小于120°
求证：该五边形的5个内角都是钝角
我在重申一下
各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。
除非是三角形，不然都必须两者都满足
cos∠CAD=（b²+c²-a²）/2bc＜5/6＜√3/2=cos30°
我也是这么想的，但除了画图的方法，不知怎么光用不等式得出
解答：
依题意～～
可得此凸五边形为轴对称图形（可证），5角中有4角两两相等，这两组角分别记为αβ，另一角记为θ。
三组角中任意一角取得确定值时，其他组角都有与之相对应的唯一值，任意一组角确定此凸五边形的形状。（可证）
下面用反证法证明原命题的
逆否命题：当角αβθ中至少有一组角小于等于90°（即不为钝角）时，其他两组角中至少有一组角大于等于120°（即不符合题设角都小于120°）
只要证明三个小命题，可证明该逆否命题
命1：当角α小于等于90°（不为钝角）时，βθ中至少有一组角大于等于120°（即不符合题设角都小于120°）
命2：当角β小于等于90°（不为钝角）时，αθ中至少有一组角大于等于120°（即不符合题设枣此角都小于120°）
命3：当角θ小于等于90°（不为钝角）时，αβ中至少有一组角大于等于120°（即不符合题设角都小于120°）
附凳腔迅图详证
证得3个小命题成立，则原命题的逆否命题成立，故原命圆答题成立，证毕。
其他的不多说了，我只证明不存在一个角≤90°。
题目给出的条件都要用到。五边形ABCDE
设边长为a，假设最小的角为∠A，
连接AC和AD得到3个三角形，其中△ABC和△AED为等腰三角形，
因为∠ABC和∠顷拿羡AED小于120°
根据余弦定理可知：两个三角形的底边AC和AD均小于√3a。
在△ACD中CD=a
设AC=b AD=c
则根据余弦定理：cos∠CAD=（b²+c²-a²）/2bc＜5/6＜√3/2=cos30°
所以∠CAD＞敏卖30°
而∠BAC＞30°，∠EAD＞30°
所以∠A=∠BAC+∠CAD+∠EAD＞90°
由此得证：该五边形的任意一个个内角都是雀拍钝角。
1楼比较狠
连锐角的定义都搞不清楚，就来搞，牛！
正多边形的定义：各边相等，各角也相等的携信多边形叫做正多边形。
故而各边相等的凸多边形不一定是正多边形
有点难度
楼上证明不成立，你只是证明了同时有2个非钝角的情况不存在（此情况下的证明也不需要这么麻烦，只需要引入内角和就可以证明，不可能存在1个以上的非钝角），而没有证明只有一个非钝角的情况也不存在！
“假设五个内角都不是钝角，故其反面就是五个内角如隐升都是钝角（角A是任意的内角 ）”这个在逻辑上是不对的
假设五个内角都不是钝角，其反面是：至少有一个角是钝角！
假设五个内角都不是钝角，这个也不成立，那么其内角和很明显就小于等于450度，根本不需要来证明！
你的关键问题是你刚开始引入了一个∠A≤90度，在证明过程中又引入了一个“角B小于等于90度”，这样你的前提就是有2个角都是非钝角了！这个假设是不成立的，因为若有两个角是非钝角，那么其内角和就小于120×3＋90×2＝540了，而凸五边渣老形的内角和只能是540！
很容易证明，最多只能有一个角是非钝角，假如这个角是A
剩下的事情就是用余弦定理来判定cosA的正负即可，正数或0的话即为锐角或者直角，为负数的话就是钝角！不知道楼主学过余弦定理没有！
边长都相等的凸五边形未必就是正五边形，就像边乎衡长都相等的四边形未必就是正方形，也可以是菱形。
用反证法，设有五边形ABCDE，∠A不是钝角
首先分析一个特殊情况：
设∠A=90°，∠B=∠E，边长为1
则BE=sqrt(2)，且∠EBC=∠BED
过C作BE的垂线CF交BE于F，过D作BE的垂线DG交BE于G
易知CF=DG（三角形全等），四边形CFGD是矩形
于是：BF=[sqrt(2)-1]/2
∠EBC = arccos[sqrt(2)-1]/2 = 78°，∠B = 78°+45°= 123°= ∠E
与每个内角都小于祥顷祥120°相矛盾
再考虑这种特殊情况的变化：
若∠A<90°，则BE变短，∠B和∠E会更大
由此可知，在∠A<=90°时，若∠B=∠E，则∠B和∠E都会大于120°
更一般的情形下，若∠B和∠E同时减小，这时CD会变小，即CD<1，与题意矛盾
因而∠B减小时，∠E会增大，于是∠B和∠E至少会有一个大于120°
因而∠A也必须是钝角。
这种方法可以清楚谨搏地说明问题，又可以避免复杂的计算，很多题目都可以从一个特殊的情况入手，再逐步推广。
五条边都颂则相等的就一定是正五边形.
多边形的内角和求法,可用划分三角形的办法来求证,因为每个三角形的内角和已知为180度,你可以发现任意多边形可以划分为比边数少2个三角形.
因此多边形内角和公式猛伍为
(边数-2)*180.
可野知棚知五边形内角和为
(5-2)*180=540度,
每个内角为
540/5=108度
108度>90度 因此为钝角.
其他的不多说了，我只证明备碰不存在一个角≤90°。虚滚笑
题目给出的条件都要用到。五边形ABCDE
设边长为a，假设最小的角为∠A，
连接AC和AD得到3个三角形，其中△ABC和△AED为等腰三角形，
因为∠ABC和∠AED小于120°
根据余弦定差含理可知：两个三角形的底边AC和AD均小于√3a。
在△ACD中CD=a
设AC=b AD=c
则根据余弦定理：cos∠CAD=（b²+c²-a²）/2bc＜5/6＜√3/2=cos30°
所以∠CAD＞30°
而∠BAC＞30°，∠EAD＞30°
所以∠A=∠BAC+∠CAD+∠EAD＞90°
由此得证：该五边形的任意一个个内角都是钝角。
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这个证明比较严谨,只有一步有点大马过河的感觉
（b²+c²-a²）/2bc＜5/6
虽然说是对的,但过程跳的很厉害
虽然b和c都小于√3a,但并不能简单的把√3a代入
就如（b²+c²-a²）<5a² 2bc<6a² 不能直接得到（b²+c²-a²）/2bc＜5/6
b和c都小于√3a,求证（b²+c²-a²）/2bc＜5/6,这本身就是一个极限的证明题