解: 因为 A^2=A
所以A的特征值为0 或 1
因为 r(A) = r
所以 A的特征值为: 1,1,...,1 (r个), 0,0,...,0 (n-r个)
所以2E-A的特征值为: 1,1,...,1 (r个), 2,2,...,2 (n-r个)
所以 |2E-A| = 1^r * 2^(n-r) = 2^(n-r).
知识点:
1. 零矩阵的特征值只有0
2. 若a是A的特征值, 则乎蔽悉 g(a) 是g(A)的特征岁乎值, 其中 g(x) 是并运x的多项式.
n 阶郑瞎御是对称矩阵A满足 A平方=A ,且R(A)=r
A^2=A
A^2A^(-1)=AA^(-1)
A=E
2E-A=E
｜神做2E-A｜喊岩＝1
结果是 2^(n-r)
哆嗒网上有详细解答。