The president 主语
after meeting with Cabinet and other officials 时间状语
directly involved in the response to the worst environmental disaster in U.S. history 对spoke 说明
翻译
总统结束了和Cabinet 及其他政府官员的会议后 直接发表有关于回答美国礼上最严重环境灾难的讲话
spoke
(The president主语）（谓语 spoke）（状语 after meeting） with （宾语Cabinet and other officials directly）（宾语的定语 involved in the response to the worst environmental disaster in U.S. history）
谓语应该是involved，总统和内阁讲完话以后和其他官方成员直接参与到回应美国历史上最严重的环境灾难。
spoke agter meeting with Cabinet是用来修饰The president的，是和内阁开完会的总统，直接参与到回应美国历史上最严重的环境灾难。
有一个先后顺序！