S1=1/2（a1+1/a1）
S1=a1
所以
a1=1/2(a1+1/a1)
a1²=1
因为a1>0
所以
左式=a1=1
右式=√1-√1-1=1
左式=右式
所以假设n=k时，等式成立，即ak=√k-√（k-1）
1/ak=√k+√（k+1）
当n=k+1时
左式=a（k+1)
S（k+1）=1/2【a（k+1）+1/a（k+1）】
S（k+1）=Sk+a（k+1）=1/2（ak+1/ak）+a（k+1）=√k+a（k+1）
所以
1/2【a（k+1）+1/a（k+1）】=√k+a（k+1）
a（k+1）+1/a（k+1）=2√k+2a（k+1）
a²（k+1）+2√ka（k+1）-1=0
a（k+1）=【-2√k±√（4k+4）】/2
因为a（k+1）>0
所以a（k+1）=√（k+1）-√k
右式=√（k+1)-√k
左式=右式
命题成立
a1=s1=1/2(a1+1/a1)
所以a1=1
当n>=2时，an=Sn-S(n-1)=1/2[an-a(n-1)+1/an-1/a(n-1)]
所以an-1/an=-a(n-1)-1/a(n-1)
把上式两边平方得an^2+1/an^2-2=[a(n-1)]^2+1/[a(n-1)]^2+2
所以(an^2+1/an^2)-[a(n-1)]^2+1/[a(n-1)]^2=4
即数列{an^2+1/an^2}是一个首项为a1^2+1/a1^2,公差为4的等差数列
所以an^2+1/an^4=4n-2
所以当n>=2时，an=根号n-根号(n-1)],an=根号n+根号(n-1)(不合题意，因为an-1/an<0),
所以当n=1时，an=1 ,上述通项公式也成立，所以
an=根号n-根号(n-1)]
楼上做法是正确的，但假如题目不要求用数学归纳法的法，我想向您提供一个直接求通项的方法。其实很简单，就用Sn换元an就ok了，即代入an=Sn-S(n-1)，整理之后你会发现{Sn^2}是个等差数列，求出Sn（Sn^2开根号即可）之后再次利用an=Sn-S(n-1)的式子就能得出an了。非常直接和快捷哈！