为什么直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

为什么直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

因为这是直角三角形的一种属性，是可以证明的。

证法

设三角形的两条直角边为a、b，斜边为c，中线为d。

∵a2+b2=c2，且d为斜边的中线，

∴对同一个角B，可得：

cosB=（a2+c2-b2）/2ac=（a2+1/4c2-d2）/ac

化简后为：a2-1/2c2+b2=2d2

∵a2+b2=c2，∴代入后可得：1/2c2=2d2，

d1=1/2c，d2=-1/2c（不合题意，舍去）

∴d=1/2c，命题得证。

扩展资料：

其逆命题：如果一个三角形一条边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形，且这条边为直角三角形的斜边。

逆命题是正确的。以该条边的中点为圆心，以中线长为半径作圆，则该边成为圆的直径，该三角形的另一个顶点在圆上，该顶角为圆周角。因为直径上的圆周角是直角，所以逆命题1成立。

参考资料来源：百度百科-直角三角形斜边中线定理

参考资料来源：百度百科-三角形中线

设在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC的中线，求证：AD=1/2BC。

【证法1】

延长AD到E，使DE=AD，连接CE。

∵AD是斜边BC的中线，

∴BD=CD，

又∵∠ADB=∠EDC（对顶角相等），

AD=DE，

∴△ADB≌△EDC（SAS），

∴AB=CE，∠B=∠DCE，

∴AB//CE（内错角相等，两直线平行）

∴∠BAC+∠ACE=180°（两直线平行，同旁内角互补）

∵∠BAC=90°，

∴∠ACE=90°，

∵AB=CE，∠BAC=ECA=90°，AC=CA，

∴△ABC≌△CEA（SAS）

∴BC=AE，

∵AD=DE=1/2AE，

∴AD=1/2BC。

【证法2】

取AC的中点E，连接DE。

∵AD是斜边BC的中线，

∴BD=CD=1/2BC，

∵E是AC的中点，

∴DE是△ABC的中位线，

∴DE//AB（三角形的中位线平行于底边）

∴∠DEC=∠BAC=90°（两直线平行，同位角相等）

∴DE垂直平分AC，

∴AD=CD=1/2BC（垂直平分线上的点到线段两端距离相等）。

【证法3】

延长AD到E，使DE=AD，连接BE、CE。

∵AD是斜边BC的中线，

∴BD=CD，

又∵AD=DE，

∴四边形ABEC是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），

∵∠BAC=90°，

∴四边形ABEC是矩形（有一个角是90°的平行四边形是矩形），

∴AE=BC（矩形对角线相等），

∵AD=DE=1/2AE，

∴AD=1/2BC。

直角三角形斜边中线定理

如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

这是直角三角形斜边中线定理的逆定理。直角三角形斜边中线定理是数学中关于直角三角形的一个定理，具体内容为：如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形斜边上的中线等于斜边的一半

为什么直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半?

ΔABC是直角三角形，作AB的垂直平分线n交BC于D ∴AD=BD（线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等）以DB为半径，D为圆心画弧，与BC在D的另一侧交于C' ∴DC’=AD=BD ∴∠BAD=∠BDA ∠C’AD=∠AC’D （等边对等角）又∵∠BAD+∠BDA+∠C’AD+∠AC’D =180°（三角形内角和定理） ∴∠BAD+∠C’AD=90° 即：∠BAC’=90° 又∵∠BAC=90° ∴∠BAC=∠BAC’ ∴C与C’重合（也可用垂直公理证明 ：假使C与C’不重合 由于CA⊥AB，C’A⊥AB 故过A有CA、C’A两条直线与AB垂直 这就与垂直公理矛盾 ∴假设不成立 ∴C与C’重合） ∴DC=AD=BD ∴AD是BC上的中线且AD=BC/2 这就是直角三角形斜边上的中线定理 证法2：如图

ΔABC是直角三角形，AD是BC上的中线，作AB的中点E，连接DE ∴BD=CB/2，DE是ΔABC的中位线 ∴DE‖AC（三角形的中位线平行于第三边） ∴∠DEB=∠CAB=90°（两直线平行，同位角相等） ∴DE⊥AB ∴n是AB的垂直平分线 ∴AD=BD（线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等） ∴AD=CB/2

设△ABC中,∠C=90°,O是斜边AB中点

延长CO至D,使OD=OC,连接BD

∵OA=OB,OC=OD,∠AOC=∠BOD

∴△AOC≌△BOD(SAS)

∴∠OAC=∠OBD,∴AC∥BD

∴∠ACB=∠DBC=90°

∵CB=BC,AC=DB,∴△ACB≌△DBC(SAS)

∴AB=CD

∴OC=CD/2=AB/2,即直角三角形斜边上的中线等於斜边的一半

证明：设直角△ABC，∠B=90°，作斜边中点O，则OA=OC，延长BO到D点，使DO=BO，则四边形ABCD是平行四边形?对角线互相平分的四边形是平行四边形?，∵∠ABC=90°，∴平行四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，∴OA=OB=OC=OD，∴OB=?AC

因为中线实际上就是以斜边为直径的圆的半径

因为斜边上的中线 其实把直接三角形拆成两个 等腰三角形

如何证明直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

取AC的中点E，连接DE。取BC的中点D

∵AD是斜边BC的中线，

∴BD=CD=1/2BC，

∵E是AC的中点，

∴DE是△ABC的中位线，

∴DE//AB（三角形的中位线平行于底边）

∴∠DEC=∠BAC=90°（两直线平行，同位角相等）

∴DE垂直平分AC，

∴AD=CD=1/2BC（垂直平分线上的点到线段两端距离相等）。

直角三角形斜边中线等于斜边的一半。

设在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC的中线，求证：AD=1/2BC。

【证法1】

延长AD到E，使DE=AD，连接CE。

∵AD是斜边BC的中线，

∴BD=CD，

又∵∠ADB=∠EDC（对顶角相等），

AD=DE，

∴△ADB≌△EDC（SAS），

∴AB=CE，∠B=∠DCE，

∴AB//CE（内错角相等，两直线平行）

∴∠BAC+∠ACE=180°（两直线平行，同旁内角互补）

∵∠BAC=90°，

∴∠ACE=90°，

∵AB=CE，∠BAC=ECA=90°，AC=CA，

∴△ABC≌△CEA（SAS）

∴BC=AE，

∵AD=DE=1/2AE，

∴AD=1/2BC。

【证法2】

取AC的中点E，连接DE。

∵AD是斜边BC的中线，

∴BD=CD=1/2BC，

∵E是AC的中点，

∴DE是△ABC的中位线，

∴DE//AB（三角形的中位线平行于底边）

∴∠DEC=∠BAC=90°（两直线平行，同位角相等）

∴DE垂直平分AC，

∴AD=CD=1/2BC（垂直平分线上的点到线段两端距离相等）。

【证法3】

延长AD到E，使DE=AD，连接BE、CE。

∵AD是斜边BC的中线，

∴BD=CD，

又∵AD=DE，

∴四边形ABEC是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），

∵∠BAC=90°，

∴四边形ABEC是矩形（有一个角是90°的平行四边形是矩形），

∴AE=BC（矩形对角线相等），

∵AD=DE=1/2AE，

∴AD=1/2BC。

方法一：

在三角形ABC中，∠A=90°，AD为BC边上的中线，做AB、AC的中点E、F，连接ED、DF，

因为BE=EA，BD=DC，

所以ED∥AC，

又因为，∠A=90°，

所以∠BED=90°，

∠BED=∠AED=90°，BE=AE，ED=ED（三角形全等：边角边）

所以，△BED≌△AED，

所以BD=AD，

同理AD=CD（△ADF≌△CDF），

所以AD=CD，

所以AD=BD=CD，

所以直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

方法二：

证明：如图，延长CD到E，使DE=CD，连接AE、BE，

∵CD是斜边AB上的中线，

∴AD=BD，

∴四边形AEBC是平行四边形，

∵∠ACB=90°，

∴四边形AEBC是矩形，

∴AD=BD=CD=DE，

∴所以直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

证法1：

ΔABC是直角三角形，作AB的垂直平分线n交BC于D

∴

AD=BD（线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等）

以DB为半径，D为圆心画弧，与BC在D的另一侧交于C'

∴DC’=AD=BD∴∠BAD=∠ABD

∠C’AD=∠AC’D

（等边对等角）

又∵∠BAD+∠ABD+∠C’AD+∠AC’D

=180°（三角形内角和定理）

∴∠BAD+∠C’AD=90°

即：∠BAC’=90°

又∵∠BAC=90°

∴∠BAC=∠BAC’

∴C与C’重合（也可用垂直公理证明

：假使C与C’不重合

由于CA⊥AB，C’A⊥AB

故过A有CA、C’A两条直线与AB垂直

这就与垂直公理矛盾

∴假设不成立

∴C与C’重合）

∴DC=AD=BD∴AD是BC上的中线且AD=BC/2这就是直角三角形斜边上的中线定理

证法2：

ΔABC是直角三角形，AD是BC上的中线，作AB的中点E，连接DE

∴BD=CB/2，DE是ΔABC的中位线

∴DE‖AC（三角形的中位线平行于第三边）

∴∠DEB=∠CAB=90°（两直线平行，同位角相等）

∴DE⊥AB

∴E是AB的垂直平分线

∴AD=BD（线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等）

∴AD=CB/2

证法3：运用向量证明

已知Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是中线。求证BC=2AD

证明：设向量AC=b，向量AB=c，向量BC=a，向量AD=d

∵AD是BC的中线

∴c+b=2d

∴（c+b）2=4d2

展开括号，得|c|2+2c・b+|b|2=4|d|2

又∵c⊥b

∴c・b=0，|c|2+|b|2=|a|2

∴得|a|2=4|d|2

开方得|a|=2|d|，即BC=2AD

证法4：运用矩形的性质证明

延长AD到E,使DE=AD,连接BE,CE

∵BD=CD，∠BAC=90°

∴四边形ABEC是矩形

∴BC=AE=2AD

证法5：解析几何证明

以A为原点，AC为x轴，AB为y轴建立直角坐标系，并设C（2c,0），B（0，2b），那么D（c，b）

|AD|=

|BC|=

=

=2|AD|

证法6：圆

作Rt△ABC外接圆

∵∠BAC=90°

∴BC是直径（90°的圆周角所对的弦是直径）

∴D是圆心，AD是半径

∴BC=2AD

证法1：

ΔABC是直角三角形，作AB的垂直平分线n交BC于D

∴ AD=BD（线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等）

以DB为半径，D为圆心画弧，与BC在D的另一侧交于C'

∴DC’=AD=BD∴∠BAD=∠ABD ∠C’AD=∠AC’D （等边对等角）

又∵∠BAD+∠ABD+∠C’AD+∠AC’D =180°（三角形内角和定理）

∴∠BAD+∠C’AD=90° 即：∠BAC’=90°

又∵∠BAC=90°

∴∠BAC=∠BAC’

∴C与C’在直线AC上

又∵C与C’在直线BD上，AC与BD相交

∴C与C’重合（也可用垂直公理证明 ：假使C与C’不重合 由于CA⊥AB，C’A⊥AB 故过A有CA、C’A两条直线与AB垂直 这就与垂直公理矛盾 ∴假设不成立 ∴C与C’重合）

∴DC=AD=BD∴AD是BC上的中线且AD=BC/2这就是直角三角形斜边上的中线定理