∵S3,S9,S6成等差数列，∴2S9=S3+S6.
即，2S9=S3+S6.
又,S9=a1(q^9-1)/(q-1),
S3=a1(q^2-1)/(q-1),
S6=(a1(q^6-1)/(q-1). [q≠1]
2a1(q^9-1)=a1(q^3-1)+a1(q^6-1).
2a1q^9-2a1=a1q^3-a1+aa1q^6-a1.
2a1q^9=a1q^3+a1q^6.
两边同约去q^2后，得：
2a1q^7=a1q+a1q^4.
∵A2=a1q,A8=a1q^7,A5=a1q^4.
∴2A8=A2+A5.
∴A2,A8,A5成等差数列。
证毕。
S3.S9.S6成等差数列．
{An}不是常数列因为，如果{An}为常数列必有2S9=2*9A1
S3+S6=9*A1题中给出S3.S9.S6成等差数列，就有9*A1=18*A1
推出A1=0，既{An}=0
公比Q不等于1，
2*S9=[2*A1（1-Q^9）]/(1-Q),
s3+s6={A1(1-Q^3)+A1(1-Q^6)]/(1-Q)
推出Q^2+Q^5-2*Q^8=0,
两边乘以A1/Q,
既A1*Q+A1*Q^4-2*A1*^7
既A2+A5-2A8=0
既A2，A8，A5成等差数列
设公比为q
由S3.S9.S6成等差数列可知，q不等于1
所以S3=A1(1-q^3)/(1-q)
S6=A1(1-q^6)/(1-q)
S9=A1(1-q^9)/(1-q)
由于S3+S6=2S9
所以(1-q^3)+(1-q^6)=2(1-q^9)
q^3+q^6=2q^9
1+q^3=2q^6
令q^3=x,则2x^2-x-1=0
得出x=-1/2或x=1
由于q不等于1，所以x也不等于1
所以x=-1/2,即 q^3= -1/2
A2+A5=2A2+q^3=2A2-1/2
2A8=2(A2+q^6)=2(A2-1/4)=2A2-1/2
即A2+A5=2A8
所以A2.A8.A5成等差数列