如图,在平面直角坐标系中,A点坐标为(8,0),B点坐标为(0,6),点C是线段AB的中点。在X

如图，在平面直角坐标系中，A点坐标为（8,0），B点坐标为（0,6），点C是线段AB的中点。在X轴上是否存在一点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与三角形AOB相似？说明理由

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C(4,3)
AO=8,BO=6
AB=根号(8*8+6*6)=10
AC=AB/2=10/2=5

P、A、如铅C为顶点的三角形与三角含橡州形AOB相似,有2种情况
即角APC=90度, 或 角ACP=90度时
三角形APC与三角形AOB相似 或 三角形ACP与三角形AOB相似
AC/AB=AP/AO,或谈蔽 AC/AO=AP/AB
AP=AC*AO/AB=5*8/10=4 或 AP=AC*AB/AO=5*10/8=25/4
P点坐标为 (8-4,0) 或 (8-25/4, 0)
P点坐标为 (4,0) 或 (7/4, 0)可使得以P、A、C为顶点的三角形与三角形AOB相似

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分析：只要PAC是直角三角形，由于已有一个公用角OAB，所以两个三角形一定相似， 于是可得 纤银PCA为直角 或 CPA为直角 两种情况. 由勾股定理求得 AB=10，则AC=10/2=5 ， 1. 当PCA为直角时，PA：AB=AC：OA ， 所以 PA=AB*AC/OA=10*5/8=25/4，则 OP=OA-PA=8-25/4=7/4 ， 故得 P(7/4，0)； 2.当CPA为直角时，PA：OA=AC：AB， 所以 PA=OA*AC/AB=8*5/10=4，毁桐宴 于是得 P(4，0） 综上得 P1(7/4，轮明0)、P2(4，0).

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